Sistem Aljabar

   1.       Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi ada ..... macam

A.      1

B.      2

C.      3

D.   4

   2.       Dibawah ini adalah struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi, kecuali...

A.      Grup

B.      Monoid

C.      Polaroid

D.      Semigrup

   3.       Manakah dibawah ini cara untuk membuktikan sebuah himpunan tertutup terhadap Asosiatif ?

A. a*b = b*a                            C. a dan b benar

B. (a*b)*c = a*(b*c)               D. a dan b salah

Penjelasan :

Rumus dasar Asosiatif : (a*b)*c = a*(b*c)

   4.       Misalkan himpunan bilangan asli N, didefenisikan operasi biner :

a * b = a + 2b

Termasuk himpunan aljabar apakah variabel N ?

A.      Grup

B.      Semigrup

C.      Monoid

D.      Tidak termasuk kedalam apapun

Penyelesaian :

Tertutup

a = 1                      a * b = a + 2b

b = 2                               = 1 + 2(2) = 5     

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

Assosiatif

(a  *  b)  *  c  = (a + 2b) *  c                 (a  *  b)  *  c  = a  * (b + 2c)       

= n  * c                                                  = a  *  n

= n + 2c                                                 = a + 2n    

= a + 2b + 2c                                         = a + 4b + 2c

Jadi, (N, *) Tidak termasuk kedalam apapun

   5.       Suatu Semigrup yang memiliki elemen identitas disebut….

A. Semigrup Abelian               C. Monoid

B. Subgrup                              D. Grup

   6.       Tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan

Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).

Jawab :

H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},

sehingga H Í G.

Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat

suatu Grup :

A. Tertutup

Ambil sebarang nilai dari H

misalkan 0, 2, 4 H

0 + 0 = 0

0 + 2 = 2

0 + 4 = 4

2 + 2 = 4

2 + 4 = 0

4 + 4 = 2

karena hasilnya 0, 2, 4 H,

maka tertutup terhadap H

B. Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari H

misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 Î H

(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2

a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2

Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = 2

maka H assosiatif

C. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)

Ambil sebarang nilai dari G

misalkan 0 G

0 + e = e + 0 = 0

misalkan 2 G

2 + e = e + 2 = 2

misalkan 4 G

4 + e = e + 4 = 4

maka G ada unsur satuan atau identitas

D. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 0 G, pilih 0 G,

sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 2 G, pilih 4 G,

sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 4 G, pilih 2 G,

sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2

maka G ada unsur balikan atau invers

E. Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari H

misalkan 4 H

4 + e = 4 + 0 = 4

e + 4 = 0 + 4 = 4

Sehingga :

4 + e = e + 4 = 4

maka H ada unsur satuan atau identitas

F. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 4 H

4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e

(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e

Sehingga :

4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e

maka H ada unsur balikan atau invers

Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H,+)

merupakan Subgrup dari (G, +).

   7.       Misalkan himpunan bilangan asli N, didefenisikan operasi biner :

A * B = A + B + AB

Termasuk himpunan aljabar apakah variabel N ?

A.    Grup

B.    Semigrup

C.     Grupoid

D.    Monoid

Penyelesaian :

Tertutup

Ambil sebarang A, B € N, karena A, B € N, dan AB € N maka

A * B = A + B + AB € N.

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

Assosiatif

Ambil sebarang A, B, C € N, maka

(A * B) * C = (A + B + AB) * C = (A + B + AB) + C + (A + B + AB) C = A + B + AB + C + AC + BC + ABC

A * (B * C) = A * (B + C + BC) = A + (B + C + BC) + A (B + C + BC) = A + B + C + BC + AB + AC + ABC

Maka untuk setiap A, B, C € N berlaku

(A * B) * C = A * (B * C).

Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.

   8.       Tentukan apakah a  *  b = a + b + 3 berupa group, monoid , atau Semigroup. Beserta sifat abelnya

a  *  b = a + b + 3

a.       Asosiatif

(a  *  b)  *  c  =  a  *  (b  *  c)

(a  *  b)  *  c  = (a + b + 3) *  c            (a  *  b)  *  c  = a  * (b + c + 3)  

= n  *  c                                                                                    = a  *  n

= n + c + 3                                                               = a + n + 3   

= a + b + c + 6                                                        = a + b + c + 6         

b.      Identitas

a  *  e = e  *  a = a

a  *  e = a

a   *  b = a + b + 3                           e  *  a      e + a + 3 = a + e + 3

a  *  e = a + e + 3                                                                a = a

a = a + e

e = -3

c.       Invers

a -1    =    a -1  *  a = e

a  *  b = a + b + 3

Misalkan : a -1 = b

b = - a - 3

a  *  b = a + b +3   = -3

= a + (-a - 3) + 3    = -3

0 3

d.      Komutatif (abel)

a  *  b = b  *  a

a + b + 3 = b + a + 3

Maka a  *  b = a + b + 3 merupakan monoid abel

   9.       Dalam Sistem aljabar terdapat jenis himpunan Grup, dibawah ini terdapat syarat-syarat himpunan grup, kecuali ?

A.      Himpunan tertutup dibawah suatu operasi

B.      Operasi bersifat asosiatif

C.      Tidak terdapat elemen identitas

D.      Setiap anggota himpunan memiliki invers untuk operasi

Syarat Dari Grup adalah :

a.    Himpunan S tertutup dibawah operasi *

b.    Operasi * bersifat asosiatif

c.     Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *

d.    Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi *

   10.   Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P berbentuk ring ?

A. Asosiatif       C. Komutatif

B. Distributif     D. A,B,C Benar

Penyelesaian :

P = {3x|x ∈ Z }

Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.

a+b = b+a

3+6 = 6+3

9 = 9

Langkah kedua kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi perkalian.

a.b = b.a

3.6 = 6.3

18 = 18